geometri transformatik- isometri

1. Isometri

Definisi :

 Suatu transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik-titik P dan Q,

                        P' Q' = PQ

Dengan                 P' = T (P) dan Q' = T (Q)

Perlu diperhatikan bahwa definisi ini tidak memerlukan PP' = QQ'. Dengan kata lain, dalam isometri tidak memerlukan sifat mempertahankan jarak antara suatu titik dengan bayangannya (petanya).

Contoh :

Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh :

T (P) = P'

         = (x,-y)

Dengan bekal pengetahuan terdahulu, dapat dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil sepasang titik A' (a₁,-a₂) dan B' (b₁,-b₂), kemudian buktikan bahwa A' B' = AB.

 

              

Dengan rumus jarak, diperoleh :

Karena itu, T adalah isometri.

Teorema 1 :

Setiap Refeksi garis adalah suatu isometri.

Bukti :

Pembuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat bahwa suatu sistem koordinat dapat dibentuk dengan menggunakan sepasang garis tegak lurus dalam suatu satuan panjang, serta menetapkan sumbu x dan y positifnya, kita bebas memilih sumbu mana yang akan dijadikan sumbu refleksi. Dalam hal ini, dipilih sumbu x sebagai garis s – nya, sedangkan sumbu y menjadi garis yang tegak lurus s.

 

Teorema 2 :

Sebuah isometri bersifat :

1.      Memetakan garis menjadi garis.

2.      Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis.

3.      Mengawatkan kesejajaran dua garis.

Bukti :

a).  Andaiakan g sebuah garis dan T suatu isometri.

Kia akan membuktikan bahwa T (g) = h adalah suatu garis juga. 

Akan kita buktikan h' = h.

Bukti serupa berlaku pada keadaan (Y A B) atau (A B Y). Sehingga h = h'. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.

                            

Apabila Mg adalah releksi pada garis g, tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).

Jawab :

Oleh karena g sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut teorema 4.1, h' adalah sebuah garis.  

                                                          

Garis h' akan melalui titik potong pada h dan g misalnya R, sebab Mg (R) = R.

Jelas bahwa R = (1, -1) : h akan pula melalui Q' = Mg (Q).

Oleh karena Q = (3/2, 0) maka Q' = (0, -3/2).

Dengan demikian persamaan h' adalah :

h' = { (x, y) │x – 2y – 3 = 0 }

Isometri Langsung dan Isometri Lawan

Definisi :

Misalkan (P,Q,R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak

segaris). Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum

jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila

urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka,

P,Q,R disebut memiliki orientasi positif.

Definisi :

Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi

itu mempertahankan orientasi.sedangkan transformasi T disebut

transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah

orientasi.

Definisi :

Misalkan T suatu transformasi.T disebut mempertahankan orientasi

apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak

segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya.sedangkan

lainnya disebut mengubah orientasi.