aljabar abstrak-grup dan sub grup(1)

1. GRUP

Definisi 1.1 (Operasi Biner)
Diketahui G himpunan dan a,b∈G. Operasi biner ∗ pada G merupakan pengaitan pasangan elemen (a,b) pada G , yang memenuhi dua kondisi berikut:
1. Setiap pasangan elemen (a,b) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen
2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) pada G
merupakan elemen di G.

Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G merupakan himpunan, ∗ operasi pada G, dan a,b∈G, maka a ∗b menyatakan elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) terhadap operasi ∗ .

Contoh 1.2
Diketahui G = Z , yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi ∗ pada Z
dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a ∗b = a + b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi
biner pada Z ?
Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Dapat
diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan
bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian
a ∗b = a + b∈Z . Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.

Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner pada Z .

Contoh 1.3
Didefinisikan operasi ∗ pada 􀁝 dengan syarat untuk setiap a,b∈􀁝 , a ∗b = a b .
Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada 􀁝 ?
Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a ∗b =1∗ 2 =1 2∉􀁝 . Jadi,
operasi ∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan
b = 0 akan berakibat a ∗b =1∗0 =1 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi ∗ tidak
memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi ∗ bukan merupakan operasi biner pada Z .
Definisi 1.4 (Grup)
Diketahui G himpunan dan ∗ operasi biner ∗ pada G. Himpunan G disebut grup
terhadap operasi ∗ jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :
1. G bukan merupakan himpunan kosong
2. Untuk setiap a,b,c∈G berlaku (a ∗b)∗c = a ∗(b ∗c)
3. Terdapat e∈G sehingga untuk setiap a∈G berlaku e∗ a = a ∗e = a
4. Untuk setiap a∈G terdapat a '∈G sehingga berlaku a ∗ a ' = a '∗ a = e .

Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen e∈G pada aksioma 3 disebut juga
dengan elemen identitas. Elemen a '∈G pada aksioma 4 disebut juga dengan invers
elemen a terhadap operasi ∗.

Contoh 1.5
Misalkan G = Z×Z = {(a,b) a,b∈Z}. Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk setiap (a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b)∗(c, d ) = (a + c,b + d ) . Apakah G merupakan grup terhadap operasi ∗?

Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1)∈G . Akan ditunjukkan
bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,b),(c, d ),(e, f )∈G, dan dengan
menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
((a,b )* (c,d )) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (( ) ( ))
, , , , ,
,
, ,
, , , .
a b c d e f a c b d e f
a c eb d f
a b c e d f
a b c d e f
∗ ∗ = + + ∗
= + + + +
= ∗ + +
= ∗ ∗
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (0,0)∈G , maka untuk setiap (a,b)∈G akan berlaku:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0,0 , 0 ,0
,
0, 0
, 0,0.
a b a b
a b
a b
a b
∗ = + +
=
= + +
= ∗
Jadi, (0,0)∈G merupakan elemen identitas pada G.
Untuk sebarang (a,b)∈G dipilih elemen (−a,−b)∈G , sehingga akan berlaku:
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )
( )
(( ) ( ) )
( ) ( )
, , ,
,
0,0
,
, , .
a b a b a a b b
a a b b
a a b b
a b a b
∗ − − = + − + −
= − −
=
= − + − +
= − − ∗
Jadi, setiap elemen (a,b)∈G memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu
(−a,−b)∈G . Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap
operasi ∗ .
Contoh 1.6
Misalkan G = 􀁝×􀁝 = {(a,b) a,b∈􀁝}. Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk
setiap (a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b)∗(c,d ) = (ac,bd ) . Apakah G merupakan grup
terhadap operasi ∗?
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
4
Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1)∈G . Akan ditunjukkan
bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,b),(c, d ),(e, f )∈G, dan dengan
menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
(( ) ( )) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (( ) ( ))
, , , , ,
,
, ,
, , , .
a b c d e f ac bd e f
ace bdf
a b ce df
a b c d e f
∗ ∗ = ∗
=
= ∗
= ∗ ∗
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (1,1)∈G , maka untuk setiap (a,b)∈G akan berlaku:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1,1 , 1 ,1
,
1, 1
, 1,1.
a b a b
a b
a b
a b
∗ =
=
=
= ∗
Jadi, (1,1)∈G merupakan elemen identitas pada G.
Akan ditunjukkan tidak setiap elemen (a,b)∈G memiliki elemen invers terhadap
operasi ∗ . Misalkan (a,b),(c,d )∈G , agar (a,b)∗(c,d ) = (ac,bd ) = (1,1) maka harus
dipenuhi ac =1 dan bd =1. Jika a,b ≠1, maka menurut sifat bilangan bulat tidak ada
c, d ∈􀁝 sehingga ac =1 dan bd =1. Jadi, tidak setiap elemen (a,b)∈G memiliki invers
terhadap operasi operasi ∗.
Akibatnya G bukan merupakan grup terhadap operasi ∗ .
Untuk selanjutnya notasi (G,∗) menyatakan himpunan G yang disertai operasi biner ∗ .
Definisi 1.7 (Grup Komutatif)
Grup (G,∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈G berlaku
a ∗b = b∗ a .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
5
Contoh 1.8
Grup (G,∗) pada Contoh 1.5 merupakan grup komutatif karena untuk setiap
(a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b)∗(c, d ) = (a + c,b + d ) = (c + a, d + b) = (c, d )∗(a,b) ,
sesuai dengan sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat.
Definisi 1.9 (Subgrup)
Diketahui (G,∗) merupakan grup. Himpunan H ⊆ G disebut subgrup atas G jika dan
hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut :
1. H bukan merupakan himpunan kosong
2. (H,∗) merupakan grup.
Contoh 1.10
Diperhatikan kembali Contoh 1.5. Misalkan H = {(a,0) a∈􀁝} ⊆ G . Apakah H
merupakan subgrup dari G ?
Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong, karena (0,0)∈__________H . Akan ditunjukkan
bahwa H memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,0),(b,0),(c,0)∈H , dan dengan
menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
(( ) ( )) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (( ) ( ))
,0 ,0 ,0 ,0 ,0
,0
,0 ,0
,0 ,0 ,0 .
a b c a b c
a b c
a b c
a b c
∗ ∗ = + ∗
= + +
= ∗ +
= ∗ ∗
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (0,0)∈H , maka untuk setiap (a,b)∈H akan berlaku:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0,0 ,0 0 ,0
,0
0,0
,0 0,0 .
a a
a
a
a
∗ = +
=
= +
= ∗
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
6
Jadi, (0,0)∈H merupakan elemen identitas pada H.
Untuk sebarang (a,0)∈H dipilih elemen (−a,0)∈H , sehingga akan berlaku:
( ) ( ) ( ( ) )
( )
( )
(( ) )
( ) ( )
,0 ,0 ,0
,0
0,0
,0
,0 ,0 .
a a a a
a a
a a
a a
∗ − = + −
= −
=
= − +
= − ∗
Jadi, setiap elemen (a,0)∈H memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu
(−a,0)∈H . Karena keempat aksioma berlaku maka H merupakan grup terhadap operasi
∗ . Akibatnya H merupakan subgrup atas G.
Definisi 1.11 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati)
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H ⊆ G merupakan subgrup atas G. Subgrup H
disebut subgrup trivial jika dan hanya jika H = {e}, dengan e∈G merupakan elemen
identitas. Subgrup H disebut subgrup sejati jika dan hanya jika H ≠ G.
Teorema 1.12 (Kanselasi Kanan)
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika a ∗c = b∗c , maka berlaku a = b .
Bukti.
Misalkan a ∗c = b∗c . Menurut aksioma 3 Grup (Definisi 1.4) terdapat elemen c ' yang
merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:
(a ∗c)∗c ' = (b∗c)∗c ' .
Menggunakan sifat asosiatif grup diperoleh:
a ∗(c ∗c ') = b∗(c ∗c ') .
Sesuai definisi aksioma 3 Grup diperoleh c ∗c ' = e , dengan e elemen identitas sehingga:
a ∗e = b∗e .
Sesuai definisi aksioma 2 Grup diperoleh:
a = b .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
7
Teorema 1.13 (Kanselasi Kiri)
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika c ∗ a = c ∗b , maka berlaku a = b .
Teorema 1.14
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b∈G, maka hanya ada tepat satu x∈G yang
memenuhi persamaan a ∗ x = b .
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa terdapat x∈G yang memenuhi a ∗ x = b . Akan ditunjukkan
bahwa a '∗b merupakan elemen x yang dimaksud, dengan a ' merupakan invers elemen
a. Diperhatikan bahwa:
( ' ) ( ') sifat asosiatif
definisi '
sifat .
a a b a a b
e b a
b e
∗ ∗ = ∗ ∗
= ∗
=
Kemudian akan ditunjukkan bahwa elemen x tersebut tunggal. Misalkan ada penyelesaian
lain, namakan 2 x ∈G yang memenuhi 2 a ∗ x = b . Karena a ∗ x = b dan 2 a ∗ x = b , maka
berlaku 2 a ∗ x = a ∗ x . Menggunakan teorema kanselasi kiri, diperoleh 2 x = x .
Jadi, terbukti bahwa hanya ada tepat satu x∈G yang memenuhi persamaan a ∗ x = b .
Teorema 1.15
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan e∈G merupakan elemen identitas, maka hanya
ada tepat satu elemen identitas pada G.
Bukti.
Misalkan ada elemen 1 e,e ∈G , dengan e∗ a = a ∗e = a dan 1 1 e ∗a = a ∗e = a untuk setiap
a∈G. Misalkan dipilih 1 a = e , akibatnya berlaku 1 1 1 e∗e = e ∗e = e . Karena 1 e juga
merupakan elemen identitas, akibatnya 1e ∗e = e , dan dengan kata lain 1 e = e .
Jadi, elemen identitas pada grup G tunggal.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
8
Teorema 1.16
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a∈G. Jika a ' merupakan invers elemen a, maka
hanya ada tepat satu elemen a ' pada G.
Bukti.
Misalkan elemen a∈G memiliki dua elemen invers, yaitu a ' dan a '' , sehingga
a ∗ a ' = a '∗ a = e dan a ∗ a '' = a ''∗ a = e . Akibatnya a ∗a ' = a ∗ a '' = e , dan dengan
teorema kanselasi kiri diperoleh a ' = a '' .
Jadi, terbukti bahwa elemen invers tunggal.
Teorema 1.17
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b∈G, maka (b '∗ a ') merupakan invers elemen
(a ∗b) pada G.
Bukti.
Menggunakan sifat grup, perhatikan bahwa:
(a ∗b)∗(b '∗ a ') = a ∗(b∗b')∗ a ' = (a ∗e)∗ a ' = a ∗ a ' = e .
Jadi, terbukti bahwa (a ∗b)' = (b '∗ a ') .
Teorema 1.18
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H subgrup atas G, maka kedua pernyataan berikut
berlaku:
1. Elemen identitas e∈G juga merupakan elemen pada H
2. Untuk setiap a∈H , berlaku a '∈H dengan a ' merupakan invers elemen a.
Bukti.
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 1. Andaikan terdapat He ∈H , dengan
H H e ∗a = a ∗e = a untuk setiap a∈H . Karena H ⊆ G , maka untuk setiap a∈H
berlaku a∈G. Karena G merupakan grup, maka berlaku e∗ a = a ∗e = a . Dengan
demikian diperoleh H a ∗e = a ∗e = a dan menggunakan teorema kanselasi kiri diperoleh
He = e . Jadi, terbukti bahwa e∈H .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
9
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 2. Karena H merupakan grup terhadap operasi
biner ∗ , maka menurut definisi grup jelas bahwa a '∈H untuk setiap a∈H .
Teorema 1.19
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H ⊆ G . Himpunan H merupakan subgrup atas G
jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈H berlaku a ∗b'∈H , dengan b ' merupakan
invers elemen b.
Bukti.
⇒
Karena H merupakan subgrup atas G, maka menurut Teorema 1.17 berlaku b '∈H dan
dengan demikian a ∗b '∈H .
⇐
Akan ditunjukkan H merupakan subgrup atas G. Karena H ⊆ G maka sifat asosiatif
operasi ∗ pada G juga berlaku pada H. Jika dipilih b = a , akan diperoleh
a ∗b ' = a ∗ a ' = e∈H . Dengan demikian H memuat elemen identitas dan sekaligus
menunjukkan bahwa H bukan himpunan kosong. Selanjutnya, jika dipilih a = e , akan
diperoleh a ∗b ' = e∗b ' = b'∈H untuk setiap b∈H . Dengan demikian H memuat invers
dari setiap elemennya.
Jadi, terbukti bahwa H merupakah subgrup atas G.
Teorema 1.20
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H,K merupakan subgrup-subgrup atas G, maka
H ∩K juga merupakan subgrup atas G.
Bukti.
Ambil sebarang a,b∈H ∩K , akibatnya a,b∈H dan a,b∈K . Karena H merupakan
subgrup maka menurut Teorema 1.19 berlaku a ∗b '∈H . Karena K juga merupakan
subgrup maka menurut Teorema 1.19 juga berlaku a ∗b '∈K . Akibatnya a ∗b '∈H ∩K ,
dan menurut Teorema 1.19 berakibat H ∩K merupakan subgrup atas G.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
10
Sumber
Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra,
Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.