selamat datang...

ini adalah blog pertamaku. postkan komentar anda, baik isi, maupun tampilannya

Jumat, 30 Desember 2011

kisah teladan-Bocah Pembeli Es Krim

 Bocah Pembeli Es Krim



      Minggu siang di sebuah mall. Seorang bocah lelaki umur delapan tahun
berjalan menuju ke sebuah gerai tempat penjual eskrim. Karena pendek, ia
terpaksa memanjat untuk bisa melihat si pramusaji. Penampilannya yang lusuh
sangat kontras dengan suasana hingar bingar mal yang serba wangi dan indah.

Kamis, 29 Desember 2011

PLTU 2 NTB 2X25 MW Jeranjang- pltu lombok- gambar boiler 1 dan 2, PLTU 2 NTB

model model pembelajaran inovatif

Makalah I Wayan Santyasa
Disajikan dalam pelatihan tentang Penelitian Tindakan Kelas bagi Guru-Guru SMP dan SMA di Nusa Penida,
tanggal 29 Juni s.d 1 Juli 2007 1

MODEL-MODEL PEMBELAJARAN INOVATIF

Jurusan Pendidikan Fisika FPMIPA Universitas Pendidikan Ganesha Makalah ini menyajikan tiga bagian pokok tentang pembelajaran, yaitu (1) Pembelajaran menurut paradigma konstruktivistik, (2) Model-Model Pembelajaran, dan (3) Penutup. Model-model pembelajaran tersebut, adalah model problem solving dan reasoning, model inquiry training, model problembased instruction, model pembelajaran perubahan konseptual, model group investigation.

Rabu, 28 Desember 2011

aljabar abstrak-grup dan sub grup(1)

1. GRUP

Definisi 1.1 (Operasi Biner)
Diketahui G himpunan dan a,b∈G. Operasi biner ∗ pada G merupakan pengaitan pasangan elemen (a,b) pada G , yang memenuhi dua kondisi berikut:
1. Setiap pasangan elemen (a,b) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen
2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) pada G
merupakan elemen di G.

Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G merupakan himpunan, ∗ operasi pada G, dan a,b∈G, maka a ∗b menyatakan elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) terhadap operasi ∗ .

Contoh 1.2
Diketahui G = Z , yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi ∗ pada Z
dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a ∗b = a + b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi
biner pada Z ?
Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Dapat
diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan
bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian
a ∗b = a + b∈Z . Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.

Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner pada Z .

Contoh 1.3
Didefinisikan operasi ∗ pada 􀁝 dengan syarat untuk setiap a,b∈􀁝 , a ∗b = a b .
Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada 􀁝 ?
Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a ∗b =1∗ 2 =1 2∉􀁝 . Jadi,
operasi ∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan
b = 0 akan berakibat a ∗b =1∗0 =1 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi ∗ tidak
memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi ∗ bukan merupakan operasi biner pada Z .
Definisi 1.4 (Grup)
Diketahui G himpunan dan ∗ operasi biner ∗ pada G. Himpunan G disebut grup
terhadap operasi ∗ jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :
1. G bukan merupakan himpunan kosong
2. Untuk setiap a,b,c∈G berlaku (a ∗b)∗c = a ∗(b ∗c)
3. Terdapat e∈G sehingga untuk setiap a∈G berlaku e∗ a = a ∗e = a
4. Untuk setiap a∈G terdapat a '∈G sehingga berlaku a ∗ a ' = a '∗ a = e .

Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen e∈G pada aksioma 3 disebut juga
dengan elemen identitas. Elemen a '∈G pada aksioma 4 disebut juga dengan invers
elemen a terhadap operasi ∗.

Contoh 1.5
Misalkan G = Z×Z = {(a,b) a,b∈Z}. Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk setiap (a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b)∗(c, d ) = (a + c,b + d ) . Apakah G merupakan grup terhadap operasi ∗?

Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1)∈G . Akan ditunjukkan
bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,b),(c, d ),(e, f )∈G, dan dengan
menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
((a,b )* (c,d )) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (( ) ( ))
, , , , ,
,
, ,
, , , .
a b c d e f a c b d e f
a c eb d f
a b c e d f
a b c d e f
∗ ∗ = + + ∗
= + + + +
= ∗ + +
= ∗ ∗
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (0,0)∈G , maka untuk setiap (a,b)∈G akan berlaku:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0,0 , 0 ,0
,
0, 0
, 0,0.
a b a b
a b
a b
a b
∗ = + +
=
= + +
= ∗
Jadi, (0,0)∈G merupakan elemen identitas pada G.
Untuk sebarang (a,b)∈G dipilih elemen (−a,−b)∈G , sehingga akan berlaku:
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )
( )
(( ) ( ) )
( ) ( )
, , ,
,
0,0
,
, , .
a b a b a a b b
a a b b
a a b b
a b a b
∗ − − = + − + −
= − −
=
= − + − +
= − − ∗
Jadi, setiap elemen (a,b)∈G memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu
(−a,−b)∈G . Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap
operasi ∗ .
Contoh 1.6
Misalkan G = 􀁝×􀁝 = {(a,b) a,b∈􀁝}. Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk
setiap (a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b)∗(c,d ) = (ac,bd ) . Apakah G merupakan grup
terhadap operasi ∗?
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
4
Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1)∈G . Akan ditunjukkan
bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,b),(c, d ),(e, f )∈G, dan dengan
menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
(( ) ( )) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (( ) ( ))
, , , , ,
,
, ,
, , , .
a b c d e f ac bd e f
ace bdf
a b ce df
a b c d e f
∗ ∗ = ∗
=
= ∗
= ∗ ∗
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (1,1)∈G , maka untuk setiap (a,b)∈G akan berlaku:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1,1 , 1 ,1
,
1, 1
, 1,1.
a b a b
a b
a b
a b
∗ =
=
=
= ∗
Jadi, (1,1)∈G merupakan elemen identitas pada G.
Akan ditunjukkan tidak setiap elemen (a,b)∈G memiliki elemen invers terhadap
operasi ∗ . Misalkan (a,b),(c,d )∈G , agar (a,b)∗(c,d ) = (ac,bd ) = (1,1) maka harus
dipenuhi ac =1 dan bd =1. Jika a,b ≠1, maka menurut sifat bilangan bulat tidak ada
c, d ∈􀁝 sehingga ac =1 dan bd =1. Jadi, tidak setiap elemen (a,b)∈G memiliki invers
terhadap operasi operasi ∗.
Akibatnya G bukan merupakan grup terhadap operasi ∗ .
Untuk selanjutnya notasi (G,∗) menyatakan himpunan G yang disertai operasi biner ∗ .
Definisi 1.7 (Grup Komutatif)
Grup (G,∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈G berlaku
a ∗b = b∗ a .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
5
Contoh 1.8
Grup (G,∗) pada Contoh 1.5 merupakan grup komutatif karena untuk setiap
(a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b)∗(c, d ) = (a + c,b + d ) = (c + a, d + b) = (c, d )∗(a,b) ,
sesuai dengan sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat.
Definisi 1.9 (Subgrup)
Diketahui (G,∗) merupakan grup. Himpunan H ⊆ G disebut subgrup atas G jika dan
hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut :
1. H bukan merupakan himpunan kosong
2. (H,∗) merupakan grup.
Contoh 1.10
Diperhatikan kembali Contoh 1.5. Misalkan H = {(a,0) a∈􀁝} ⊆ G . Apakah H
merupakan subgrup dari G ?
Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong, karena (0,0)∈__________H . Akan ditunjukkan
bahwa H memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,0),(b,0),(c,0)∈H , dan dengan
menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
(( ) ( )) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (( ) ( ))
,0 ,0 ,0 ,0 ,0
,0
,0 ,0
,0 ,0 ,0 .
a b c a b c
a b c
a b c
a b c
∗ ∗ = + ∗
= + +
= ∗ +
= ∗ ∗
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (0,0)∈H , maka untuk setiap (a,b)∈H akan berlaku:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0,0 ,0 0 ,0
,0
0,0
,0 0,0 .
a a
a
a
a
∗ = +
=
= +
= ∗
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
6
Jadi, (0,0)∈H merupakan elemen identitas pada H.
Untuk sebarang (a,0)∈H dipilih elemen (−a,0)∈H , sehingga akan berlaku:
( ) ( ) ( ( ) )
( )
( )
(( ) )
( ) ( )
,0 ,0 ,0
,0
0,0
,0
,0 ,0 .
a a a a
a a
a a
a a
∗ − = + −
= −
=
= − +
= − ∗
Jadi, setiap elemen (a,0)∈H memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu
(−a,0)∈H . Karena keempat aksioma berlaku maka H merupakan grup terhadap operasi
∗ . Akibatnya H merupakan subgrup atas G.
Definisi 1.11 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati)
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H ⊆ G merupakan subgrup atas G. Subgrup H
disebut subgrup trivial jika dan hanya jika H = {e}, dengan e∈G merupakan elemen
identitas. Subgrup H disebut subgrup sejati jika dan hanya jika H ≠ G.
Teorema 1.12 (Kanselasi Kanan)
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika a ∗c = b∗c , maka berlaku a = b .
Bukti.
Misalkan a ∗c = b∗c . Menurut aksioma 3 Grup (Definisi 1.4) terdapat elemen c ' yang
merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:
(a ∗c)∗c ' = (b∗c)∗c ' .
Menggunakan sifat asosiatif grup diperoleh:
a ∗(c ∗c ') = b∗(c ∗c ') .
Sesuai definisi aksioma 3 Grup diperoleh c ∗c ' = e , dengan e elemen identitas sehingga:
a ∗e = b∗e .
Sesuai definisi aksioma 2 Grup diperoleh:
a = b .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
7
Teorema 1.13 (Kanselasi Kiri)
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika c ∗ a = c ∗b , maka berlaku a = b .
Teorema 1.14
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b∈G, maka hanya ada tepat satu x∈G yang
memenuhi persamaan a ∗ x = b .
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa terdapat x∈G yang memenuhi a ∗ x = b . Akan ditunjukkan
bahwa a '∗b merupakan elemen x yang dimaksud, dengan a ' merupakan invers elemen
a. Diperhatikan bahwa:
( ' ) ( ') sifat asosiatif
definisi '
sifat .
a a b a a b
e b a
b e
∗ ∗ = ∗ ∗
= ∗
=
Kemudian akan ditunjukkan bahwa elemen x tersebut tunggal. Misalkan ada penyelesaian
lain, namakan 2 x ∈G yang memenuhi 2 a ∗ x = b . Karena a ∗ x = b dan 2 a ∗ x = b , maka
berlaku 2 a ∗ x = a ∗ x . Menggunakan teorema kanselasi kiri, diperoleh 2 x = x .
Jadi, terbukti bahwa hanya ada tepat satu x∈G yang memenuhi persamaan a ∗ x = b .
Teorema 1.15
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan e∈G merupakan elemen identitas, maka hanya
ada tepat satu elemen identitas pada G.
Bukti.
Misalkan ada elemen 1 e,e ∈G , dengan e∗ a = a ∗e = a dan 1 1 e ∗a = a ∗e = a untuk setiap
a∈G. Misalkan dipilih 1 a = e , akibatnya berlaku 1 1 1 e∗e = e ∗e = e . Karena 1 e juga
merupakan elemen identitas, akibatnya 1e ∗e = e , dan dengan kata lain 1 e = e .
Jadi, elemen identitas pada grup G tunggal.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
8
Teorema 1.16
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a∈G. Jika a ' merupakan invers elemen a, maka
hanya ada tepat satu elemen a ' pada G.
Bukti.
Misalkan elemen a∈G memiliki dua elemen invers, yaitu a ' dan a '' , sehingga
a ∗ a ' = a '∗ a = e dan a ∗ a '' = a ''∗ a = e . Akibatnya a ∗a ' = a ∗ a '' = e , dan dengan
teorema kanselasi kiri diperoleh a ' = a '' .
Jadi, terbukti bahwa elemen invers tunggal.
Teorema 1.17
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b∈G, maka (b '∗ a ') merupakan invers elemen
(a ∗b) pada G.
Bukti.
Menggunakan sifat grup, perhatikan bahwa:
(a ∗b)∗(b '∗ a ') = a ∗(b∗b')∗ a ' = (a ∗e)∗ a ' = a ∗ a ' = e .
Jadi, terbukti bahwa (a ∗b)' = (b '∗ a ') .
Teorema 1.18
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H subgrup atas G, maka kedua pernyataan berikut
berlaku:
1. Elemen identitas e∈G juga merupakan elemen pada H
2. Untuk setiap a∈H , berlaku a '∈H dengan a ' merupakan invers elemen a.
Bukti.
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 1. Andaikan terdapat He ∈H , dengan
H H e ∗a = a ∗e = a untuk setiap a∈H . Karena H ⊆ G , maka untuk setiap a∈H
berlaku a∈G. Karena G merupakan grup, maka berlaku e∗ a = a ∗e = a . Dengan
demikian diperoleh H a ∗e = a ∗e = a dan menggunakan teorema kanselasi kiri diperoleh
He = e . Jadi, terbukti bahwa e∈H .
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
9
Akan ditunjukkan kebenaran pernyataan 2. Karena H merupakan grup terhadap operasi
biner ∗ , maka menurut definisi grup jelas bahwa a '∈H untuk setiap a∈H .
Teorema 1.19
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H ⊆ G . Himpunan H merupakan subgrup atas G
jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈H berlaku a ∗b'∈H , dengan b ' merupakan
invers elemen b.
Bukti.

Karena H merupakan subgrup atas G, maka menurut Teorema 1.17 berlaku b '∈H dan
dengan demikian a ∗b '∈H .

Akan ditunjukkan H merupakan subgrup atas G. Karena H ⊆ G maka sifat asosiatif
operasi ∗ pada G juga berlaku pada H. Jika dipilih b = a , akan diperoleh
a ∗b ' = a ∗ a ' = e∈H . Dengan demikian H memuat elemen identitas dan sekaligus
menunjukkan bahwa H bukan himpunan kosong. Selanjutnya, jika dipilih a = e , akan
diperoleh a ∗b ' = e∗b ' = b'∈H untuk setiap b∈H . Dengan demikian H memuat invers
dari setiap elemennya.
Jadi, terbukti bahwa H merupakah subgrup atas G.
Teorema 1.20
Diketahui (G,∗) merupakan grup dan H,K merupakan subgrup-subgrup atas G, maka
H ∩K juga merupakan subgrup atas G.
Bukti.
Ambil sebarang a,b∈H ∩K , akibatnya a,b∈H dan a,b∈K . Karena H merupakan
subgrup maka menurut Teorema 1.19 berlaku a ∗b '∈H . Karena K juga merupakan
subgrup maka menurut Teorema 1.19 juga berlaku a ∗b '∈K . Akibatnya a ∗b '∈H ∩K ,
dan menurut Teorema 1.19 berakibat H ∩K merupakan subgrup atas G.
Struktur Aljabar – Grup © Wijna 2008.
http://wijna.web.ugm.ac.id
10
Sumber
Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra,
Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.

persamaan diferensial eksak dan non eksak

Senin, 26 Desember 2011

penelitian kualitatif-fokus penelitian kualitatif


 Fokus penelitian kualitatif
Fokus penelitian kualitatif  yang kemudian disebut fokus penelitian saja. Berisi pokok masalah yang bersifat umum, misalya terdapat 10 masalah, misalkan (A B C D E F G H I J)  lalu dibatasi menjdi 2 masalah saja (B G). dalam mencari fokkus penelitian kualitatif  harus jeli terhadap masalah yang paling urgensi atau penting dan mendesak dalam pemecahannya. Dalam fokus penelitian kualitatif masalah dikatakan penting atau urgen jika masalah terrsebut tidak dipecahkan melalui penelitian akan menimbulkan masalah lain. Sedangkan untuk menilai apakah suatu masalah penting atau tidak maka dilakukanlah sebuah analisis masalah. Dalam penelitian kualitatif penentuan fokus didasarkan pada tingkat kebaruan informasi yang akan diperoleh dari situasi sosial (lapangan). 

fokus penelitian kualitatif diperroleh setelah peneliti melakukan grand tour observation dan grand tour question atau yang disebut dengan penjelajahan umum. Dari sini peneliti memperoleh gambaran umum menyeluruh yang masih pada tahap permukaan situasi sosial. Dari sini diperolehkah fokus penelitian kualitatif dan untuk memahami secara luas dan dalam suatu masalah maka diperlukan pemilihan fokus penelitian.
Ada 4 alternatif dalam menentukan fokus penelitian kualitatif
  • 1.       Menetapkan fokus pada permasalahan yang disarankan oleh informasi.
  • 2.       Menorganisasikan fokus2, berdasarkan domain-domain tertentu.
  • 3.       Menetapkan fokus pada atau memilih fokus yang mengandung penemuan untuk mengembangkan iptek.
  • 4.       Menetapkan fokus berdasarkan teori-teori yang telah ada.